Ensinando geometria com o geoplano

O geoplano é um recurso didático que pode ser utilizado para o estudo da geometria e propicia a construção do conhecimento matemático através de atividades concretas, práticas e desafiadoras. É um material manipulativo que facilita o processo de ensino-aprendizagem da matemática, dando apoio e suporte à representação mental favorecendo, assim, a abstração.

O geoplano retilíneo consiste em uma placa de madeira de forma quadrada ou retangular em que são cravados pregos ou pinos formando uma malha quadriculada (reticulado). A distância entre os pregos, tando na horizontal, quanto na vertical, é sempre a mesma e as representações geométricas são feitas utilizando-se elásticos coloridos (atilhos) ou cordões.

Figura extraída de: https://www.mundobrink.com/geoplano-carlu

Inúmeras atividades com o geoplano podem ser propostas para explorar, além da geometria, proporcionalidade, álgebra, trigonometria, dentre outros assuntos.

O geoplano é especialmente interessante para o estudo da geometria porque permite a observação experimental das formas e propriedades das figuras planas.

No geoplano, a distância entre dois pinos consecutivos é considerada uma unidade de comprimento e cada quadradinho representa uma unidade de área. Assim  sendo, pode-se estudar área e perímetro das figuras planas com este material didático. Neste artigo, vamos abordar a geometria com o geoplano. Podemos começar com a observação de uma imagem, tal como a que segue abaixo, e chamar a atenção dos alunos para as figuras geométricas presentes na mesma.

Seguem algumas sugestões de atividades:

1) Construção de figuras geométricas

a) Reproduza, no geoplano, algumas figuras geométricas observadas na imagem acima.  Após a construção, esquematize as figuras, através de desenho, no reticulado.

Na imagem da casa observam-se quadrados, triângulos, retângulos, semicírculos, trapézio. Estas figuras estão representadas abaixo, com exceção do semicírculo que não pode ser representado neste tipo de geoplano.

Com exceção do triângulo, as demais figuras representadas são quadriláteros. Quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados e quatro ângulos internos. Este é um momento oportuno para iniciar, na sala de aula, uma conversa sobre as características (propriedades) dessas figuras, suas semelhanças e diferenças.

O quadrado tem quatro lados iguais, quatro vértices, quatro ângulos iguais e dois pares de lados paralelos. O retângulo tem quatro lados, quatro vértices, quatro ângulos iguais, dois pares de lados paralelos e de mesma medida. O triângulo tem três lados, três vértices e três ângulos. O trapézio tem quatro lados e quatro vértices, sendo um par de lados paralelos.

b) Reproduza no geoplano outros quadriláteros que você conhece. Depois, esquematize-os através de desenho e descreva algumas características de cada um:

Em vermelho está representado o paralelogramo; em amarelo,  o losango e, em verde, diferentes trapézios. O paralelogramo tem quatro lados, quatro vértices, dois pares de lados paralelos e de mesma medida, quatro ângulos sendo iguais dois a dois. O losango tem quatro lados iguais, dois pares de lados paralelos, quatro ângulos sendo iguais dois a dois. Os trapézios têm quatro lados, quatro ângulos e um par de lados paralelos. O trapézio de número 1 é denominado retângulo e possui dois ângulos retos. O trapézio 2 é isósceles e tem dois lados de mesma medida. O trapézio 3 é chamado escaleno pois todos os seus lados têm medidas diferentes. c) Represente, no geoplano, três diferentes triângulos: Na figura acima foram representados: (1) triângulo isósceles - dois lados de mesma medida, (2) triângulo retângulo - um ângulo reto, (3) triângulo escaleno - todos os lados com medidas diferentes. O triângulo equilátero, cujos lados têm a mesma medida, e que não pode ser construído neste tipo de geoplano. Todas as figuras construídas nas atividades acima são polígonos, ou seja, figuras planas fechadas formadas por lados retos (três ou mais) e que não se cruzam. d) Construa polígonos quaisquer com mais de quatro lados  e represente-os esquematicamente na malha pontilhada:   Em vermelho temos o pentágono, que é um polígono de cinco lados; em verde um hexágono (seis lados); em amarelo um heptágono (7 lados) e em azul um octógono (8 lados). Com exceção do heptágono, os demais polígonos são convexos porque todos os ângulos internos são menores que 180º. Então o heptágono representado na imagem acima é um polígono côncavo ou não-convexo. e) Construa diferentes polígonos convexos e não convexos.

Em verde estão representados polígonos convexo e em azul polígonos não-convexos.

f) Construa, no geoplano, diferentes figuras que envolvam quatro pregos cada uma, sem pregos no interior (LEDUR, et all). OBS: Um polígono é dito regular quando todos os seus lados têm o mesmo tamanho e todos os seus ângulos têm a mesma media. São exemplos de polígonos regulares o quadrado e o triângulo equilátero.  

Perímetro

Observe a imagem abaixo e considere como uma unidade de comprimento ( 1 u.c.)  o segmento destacado. Ou seja, a menor distância entre dois pinos consecutivos será uma unidade de comprimento.  

Sabendo que o perímetro de um polígono é obtido com a soma das medidas dos comprimentos dos seus lados é solicitado: g) Construir dois polígonos, um com perímetro igual a 16 u.c. e outro com perímetro de 8 u.c.   h) Construir dois retângulos de diferentes dimensões mas com mesmo perímetro:

Nos dois retângulo representados acima, o perímetro é 12 u.c. É importante salientar que todo quadrado é um retângulo, já que as duas figuras são paralelogramos e, portanto, nessa tarefa também poderia ser apresentado um quadrado de lado 3 u.c. i) No geoplano construa três quadrado com a condição de que cada um tenha o dobro do perímetro do anterior:  

j) Construa no geoplano as figuras abaixo e determine o perímetro de cada uma delas: Ao analisar as figuras tem-se que: a figura 1 possui perímetro de 10 u.c., as figura 2 e 3 têm perímetro igual a 12 u.c., a figura 4 tem perímetro de 14 u.c. e a figura 5 tem 6 u.c. de perímetro. Knijik; Basso; Klüsener sugerem propor aos alunos situações como as que seguem abaixo, em que é necessário calcular perímetros não inteiros. Nesse caso, os alunos podem procurar aproximações utilizando réguas ou cordões. k) Construa no geoplano as figuras abaixo e calcule o perímetro de cada uma delas: Em todas as representações é necessário calcular a medida da diagonal do quadradinho de 1 u.c. de lado. Essa medida é aproximadamente igual a 1,5. Sendo assim, os perímetros aproximados são: figura 1: 9,5 u.c.;  figura 2: 7 u.c.; figura 3: 5 u.c.; figura 4: 11,5 u.c. Caso os estudantes já tenham estudado o teorema de Pitágoras, então a medida da diagonal do quadradinho pode ser calculada como √2.

Áreas

Observe a imagem abaixo e considere como uma unidade de área " 1 u.a." o quadradinho destacado:  

  l) Construa  no geoplano os polígonos abaixo e calcule suas áreas:

Os polígonos representados têm as seguintes áreas: polígono 1: 3 u.a.; polígono 2: 6 u.a.; polígono 3: 5 u.a.; polígono 4: 3,5 u.a.; polígono 5: 1 u.a.; polígono 6: 3 u.a.; polígono 7: 3 u.a. m) Construa no geoplano três diferentes polígonos com área igual a 5 u.a.

n) Responda a seguinte questão: duas figuras diferentes com mesma área têm, necessariamente, o mesmo perímetro? A resposta é "não" e podemos justificar a partir da imagem acima. Todas as figuras têm 5 u.a., mas possuem diferentes perímetros, quais sejam, 10 u. c., 13 u.c., e 12 u.c. o) Responda a seguinte pergunta: duas figuras diferentes com mesmo perímetro têm, necessariamente, a mesma área? Observando os polígonos abaixo, ambos com 12 u.c. de perímetro, podemos responder "não" à pergunta:  

Áreas das figuras planas

Área do retângulo

Para que o aluno deduza a fórmula da área do retângulo pode ser solicitado a ele que crie, no geoplano, diferentes retângulos. Depois, ele deve verificar a medida da base e da altura de cada retângulo, bem como área de cada um (a partir da contagem das unidades de área contidas na figura) e descobrir uma relação entre os números. Sem muito esforço é possível verificar que a área do retângulo é dada por:

Área=base × altura

Área do quadrado

Idem às atividades desenvolvidas com o retângulo.

Área=lado × lado    ou   Área= (lado)²

Área do paralelogramo

Os estudantes devem construir um paralelogramo no geoplano. Será denominada base do paralelogramo a dois lados paralelos e altura à distância entre as bases. Utilizando outro elástico, deve ser sobreposto ao paralelogramo um retângulo em que um dos lados coincida com uma base, tal como mostrado na figura que segue:

Observa-se que a medida do lado do retângulo é igual à medida da altura do paralelogramo. Na sobreposição das figuras, uma região triangular ficou fora, mas foi compensada por outra. Sendo assim, a área do paralelogramo é igual à área do retângulo.

Área=base × altura

É importante a turma repetir o procedimento com outros paralelogramos.

Área do triângulo

Os alunos devem construir um triângulo qualquer no geoplano. Com outro elástico devem construir outro triângulo igual ao primeiro e encostado neste, porém virado, tal como mostra a figura abaixo:  

Observa-se que a figura formada é um paralelogramo. Como o triângulo é a metade do paralelogramo e ambos têm mesma altura, pode-se escrever a fórmula da área do triângulo como:

Os alunos constatarão o mesmo com a construção de outros tipos de triângulos.

Área do losango

É solicitado aos estudantes que construam, no geoplano, um losango e, depois, coloquem um elástico na diagonal maior do mesmo.

Observa-se que o losango ficou dividido em dois triângulos, sendo que a base de cada triângulo é a diagonal maior do losango (D).  Consequentemente, a altura de cada triângulo é a metade da diagonal menor (d) do losango. Sendo a área de cada triângulo dada pela metade do produto da base pela atura, pode-se escrever a área de cada triângulo como:

Como o losango é a união de dois triângulos, tem-se a fórmula da área do losango dada por:

Os alunos constatarão o mesmo com a construção de diferentes losangos.

Área do trapézio

É solicitada a representação, no geoplano, de um trapézio com bases medindo 5 u.c. e 2 u.c. e altura de 3 u.c. (LEDUR et all). Depois, deve ser construído outro trapézio de mesmas medidas, virado e encostado no primeiro.  

A figura obtida é um paralelogramo, cuja área é calculada pelo produto da base pela altura. Observa-se que:

• a base do paralelogramo é igual à soma da base maior do trapézio (B) com a base menor (b) do mesmo;
• a altura do paralelogramo é igual à altura do trapézio;
• a área do trapézio é a metade da área do paralelogramo.

Sendo assim, a área do trapézio é:

Sugere-se repetir o procedimento com outros trapézios para constatar que a relação obtida para a área é sempre a mesma.

Número de diagonais de um polígono

Chama-se diagonal de um polígono convexo ao segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do mesmo. Para deduzir a fórmula do número de diagonais de um polígono solicita-se aos estudantes que construam diferentes polígonos no geoplano e utilizem elásticos para marcar as diagonais que partem de um único vértice.

Na figura acima foi representado um hexágono (azul) e um octógono (vermelho). O hexágono tem 6 lados e 3 diagonais partindo do mesmo vértice;  o octógono tem 8 lados e 5 diagonais partindo de um mesmo vértice. A análise de outros polígonos mostrará que a diferença entre o número de diagonais partindo de um mesmo vértice e o número de lados do polígono é sempre 3 (não se pode unir um vértice consigo mesmo nem com os dois consecutivos a ele). Ou seja, sendo n o número de lados  de um polígono, cada vértice dará origem a (n-3) diagonais. Então, o total de diagonais é obtido fazendo-se n(n-3) e dividindo-se por 2 este produto, pois a diagonal une dois vértices e ela não pode ser contada duas vezes. Sendo d o número de diagonais de um polígono tem-se:

Referências:

LEDUR, Elsa Alice; WOLFF, Maria Stelita; WOLFF, Rosane. Metodologia do ensino-Aprendizagem da Geometria Plana. São leopoldo: UNISINOS.

KNIJNIK, Gelsa; BASSO, Marcus Vinícius; KLÜSENER, Renita. Aprendendo e ensinando matemática com o geoplano. Ijuí: Editora UINUÍ, 1996.

Bibliografia Consultada:

DIAS, Marília do Amaral. Experiências matemáticas no geoplano. Disponível em: Acesso em 03 fev. 2017.   OCHI, Fusako Ori et all. O uso de quadriculados no ensino da geometria. 5. ed. IME-USP, 2006.

VENTURA, Sara Raquel Roque. O geoplano na resolução de tarefas envolvendo os conceitos de  área e perímetro: um estudo no 2º Ciclo do Ensino Básico. Disponível em: Acesso em 17 jan. 2017