Para nunca mais esquecer dos logaritmos

Ens. Médio

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Você sabe o que são logaritmos e para que servem? Tenho feito esse questionamento para alunos de ensino médio ou superior que já estudaram logaritmos e pouquíssimas vezes obtive uma resposta satisfatória! Aliás, ao tocar no assunto observo expressões negativas e de total desconhecimento. Fico pensando no motivo pelo qual os alunos não retêm os conhecimentos aprendidos sobre logaritmos. Como é o ensino desse conteúdo na maioria das escolas? 

Normalmente os logaritmos são abordados de forma mecânica na sala de aula. O professor fala sobre a definição e suas consequências, propriedades, mudança de base, ..., e passa as listagens de exercícios. As aulas geralmente são enfadonhas e, muitas vezes, descontextualizadas.

Aprender sobre logaritmos e saber aplicá-los na resolução de problemas é algo que todo o estudante deveria saber! É uma aprendizagem para a vida! Então, vale a pena investir no processo de ensino-aprendizagem dos logaritmos!

Um pouco de história

Há muito o que falar sobre logaritmos, a começar pela história que justifica a criação dessa importante "calculadora" da antiguidade. Há quem diga que os logaritmos impactaram no passado tanto quanto os computadores em nossos dias!

Há alguns anos eu estava contando a história dos logaritmos para uma turma de um curso superior de Administração e, num determinado momento,  alguém bateu na porta, interrompendo a aula. No mesmo instante, ouvi um sonoro "ah não!" da turma toda, que ficou descontente com a interrupção! A reação dos alunos me surpreendeu positivamente e me mostrou o quanto eles estavam interessados na aula!

Bem, vou detalhar, então, quais são a ferramentas que utilizo para ensinar logaritmos e estimular o aluno a estudar e permanecer interessado no assunto. Tudo começa com a história:  os logaritmos surgiram no início do século XVII para auxiliar e facilitar a resolução de cálculos complicados. Aliás, essa época foi chamada de revolução científica pois a ciência ganhou novas ferramentas e o conhecimento passou a ser mais estruturado e prático.

Conforme o Novo Telecurso do Ensino Médio, naquela época o homem se lançava aos mares e oceanos em busca de novas terras e determinava suas posições no mar a partir das observações das estrelas; os astrônomos faziam descobertas observando planetas e estrelas para prever fenômenos naturais, tais como marés e eclipses;  os banqueiros calculavam os juros de empréstimos;  as obras de engenharia evoluíam . Todas essas atividades exigiam muitos cálculos!

logaritmos_navegacao

Então surgiram as tábuas ou tabelas de logaritmos que facilitavam os cálculos pois, com o uso delas, multiplicações podiam ser substituídas por adições, divisões por subtrações e potências por multiplicações. As tábuas de logaritmos foram feitas a muitas mãos, mas o matemático John Napier  as tornou públicas, por isso ele é considerado  o pai dos logaritmos. O termo logaritmo foi criado por Napier: logos significa razão e arithmos números.

   john_napier  

Com o aparecimento das calculadoras e computadores as tábuas de logaritmos perderam sua validade. Todavia, hoje o que especialmente importa são as propriedades dos logaritmos e as funções logarítmicas que auxiliam no entendimento e resolução de problemas de diversas áreas.

Definição e propriedades

Após a abordagem histórica, é hora de falar claramente sobre a definição de logaritmos. O logaritmo é um expoente a que se deve elevar uma base para obter um número. Simples assim: logaritmos são ex-po-en-tes!

Então, dados os números reais e positivos a e b, com a diferente de 1, chama-se de logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar à base de modo que a potência obtida seja igual a b. Sendo assim: logaritmo_definicao Isso quer dizer, por exemplo, que 23=8 ⇔ log 8=3 e que  52=25 ⇔ log 25=2.

Ou seja, enquanto na potência tem-se a base e o expoente e se obtém o número, no logaritmo tem-se a base e o número e obtém-se o expoente. É interessante, em seguida, realizar algumas operações simples utilizando logaritmos para que os estudantes tenham ideia de como os antigos matemáticos faziam os cálculos. Vamos começar tomando os logaritmos decimais dos números de 1 a 10, com o auxílio da calculadora, tal como mostra a tabela abaixo:

tabua-logaritmos

E agora, vamos resolver três cálculos simples utilizando a tabela e as propriedades das potências:

multiplicacao_logaritmos

Observemos que, a partir da primeira linha de cálculo, podemos apresentar e justificar a propriedade da multiplicação, que diz que o logaritmo de um produto de dois números é igual à somas dos logaritmos desses números. Para os antigos matemáticos o uso da tabela era bem simples: no caso do exemplo acima, bastava observar os logaritmos de 2 e de 4, somar esses números e localizar a soma para encontrar o resultado da operação.

tabua-logaritmos1

Processo semelhante pode ser feito com a propriedade do quociente, que diz que o logaritmo do quociente de dois números é igual à diferença de seus logaritmos. Vejamos o caso da operação 6 : 2, que segue abaixo:

divisao_logaritmos

E, por fim, vamos calcular 32 utilizando a tabela dos logaritmos para, também, apresentar a propriedade da potência, que afirma:  log an=n log a.

potencia_logaritmos

A partir destes exemplos justificamos, de forma bem didática e simples, as propriedades operatórias dos logaritmos! Bem, é sabido que  os logaritmos surgiram no século XVII para facilitar os cálculos, em uma época em que não existiam calculadoras e nem computadores. E hoje, para que são utilizados?

Resolução de equações

Uma aplicação dos logaritmos é na resolução de equações exponenciais ou logarítmicas.

Para resolver uma equação qualquer, uma boa técnica é imaginar uma balança de dois pratos em equilíbrio. A balança fica equilibrada quando há igual massa nos dois pratos e, para encontrar o valor de uma massa desconhecida, é necessário manipular as massas dos pratos de forma que o equilíbrio seja sempre mantido.

balaca_equacoes1

Seja, por exemplo, a equação 2x=7.  Para encontrar o valor de x, aplicamos logaritmos nos dois membros da mesma e utilizamos a terceira

equacao_exponencial

propriedade, a fim de isolar a incógnita:  No cálculo dos juros compostos também é necessário utilizar logaritmos para se descobrir o tempo em que uma aplicação rende determinado juro, a partir da fórmula: juros_compostos em que M é o montante (capital + juros), C é o capital, i é a taxa de juros e n é o tempo. Suponhamos que R$ 1000,00 produza juros compostos de R$ 200,oo, a uma taxa 1,2% ao mês.

O cálculo abaixo mostra como determinar o tempo da aplicação: juros_compostos_logaritmos  

Questões do ENEM

As temidas provas de matemática do ENEM são resolvidas com interpretação e domínio de conhecimentos específicos.

Um outro exemplo de aplicação dos logaritmos é a questão que segue, apresentada na prova de matemática do ENEM de 2013: Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão  M(t)=A.(2,7)kt  onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log 10 2. Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? Para a resolução utilizamos, primeiramente, as informações sobre a meia vida do césio-137: enem_logaritmos Em seguida, tomamos novamente a equação dada para responder a pergunta do problema:

matematica_enem

Então, em 100 anos o césio-137 reduz-se a 10% de sua massa inicial. Outra aplicação dos logaritmos é na medição da magnitude de terremotos, através de escalas logarítmicas. A Escala Richter, conforme conta o vídeo da série Matemática Multimídia, foi criada em 1935 por Charles Richter e Beno Gutenberg, enquanto estudavam os terremotos nos Estados Unidos. Eles utilizavam  um sismógrafo para medir a energia liberada no foco dos terremotos e perceberam que as magnitudes dos abalos variavam muito. Por isso, criaram uma escala com os logaritmos dos números mostrados pelo sismógrafo.

escala-richter

Com a Escala Richter, grandes variações de magnitudes sísmicas puderam ser representados em uma escala reduzida, já que cada grau na Escala é um expoente da base 10. Assim, um terremoto de 3 graus na Escala tem magnitude 103=1000 e um terremoto com 4 graus na escala tem magnitude 104=10000. Isso significa que um terremoto de grau 4 é dez vezes mais forte que um terremoto de grau 3. Porém, terremotos de pequenas magnitudes não são percebidos. O maior terremoto já ocorrido no mundo aconteceu no Chile, em 1960, chegou a 9,5 pontos na Escala Richter e provocou muitos desastres e mortes. No Brasil, o maior terremoto de que se tem registro foi no Mato Grosso, há 50 anos, e atingiu 6,6 graus (Novo Telecurso Ensino Médio).

Uma das questões do ENEM de 2011 salienta que outra escala, menos conhecida da população em geral e introduzida em 1979, substituiu a Escala Richer : é a MMS, ou seja, Escala de Magnitude de Momento que é denotada por Mw. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica.

A questão dessa prova menciona o terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, cuja magnitude Mw=7,3. Sabendo que  Me Mo (momento sísmico) relacionam-se pela fórmula abaixo, o problema solicita para determinar Mo.

terremoto_logaritmos

A resolução é a que segue:

terremotos_escala

A exemplo dos problemas resolvidos acima, há muitos outros, em várias áreas, que somente podem ser solucionados com o uso dos logaritmos. Por isso, vale a pena dedicar-se ao ensino e/ou ao estudo dessa importante ferramenta da matemática!

REFERÊNCIAS Novo Telecurso Ensino Médio: Aula 60. Disponível em Matemática Multimídia: Logaritmos - Escala Richter.  Disponível em IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemtática Elementar: Logaritmos. São Paulo: Atual, 1993. ENEM: Exames. Disponível em

Foto da autora do post - Roselice Parmegiani

Roselice Parmegiani

25/10/2016

5 comentários sobre este material

Sara Laís Ferreira Bandeira

29/09/2019 13:31

Ajudou bastante até porque amanhã é prova de matemática e eu tenho muita dificuldades sobre este conteúdo Obrigada por ajudar se puder fazer mais conteúdos me ajudará muito e eu irei agradecer muito.

Rafael

01/05/2020 23:15

Adoraria uma vídeo aula sobre o assunto! Muito obrigado!

Roselice

02/05/2020 11:40

Olá Rafael! Assim que possível farei! Obrigada por acompanhar o blog. Abraço

Ana Paula Hipólito Bustamante

02/02/2023 09:00

Bom dia Roselice, tudo bem? Sou professora e ultimamente tenho comprado seus materiais. Gostaria de pedir, se possível, que desenvolvesse algum jogo ou atividade prática sobre Matemática Financeira. At.te

Roselice

02/02/2023 16:23

Olá Ana Paula! Por aqui tudo bem! Estava mesmo procurando inspiração para o meu próximo projeto e a sua mensagem chegou em boa hora. Vou, sim, me debruçar em criar atividades lúdicas para auxiliar na aprendizagem da matemática financeira. Obrigada pela sugestão e, também, por adqquirir os materiais que produzo! Um grande abraço

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