Para nunca mais esquecer dos logaritmos

Você sabe o que são logaritmos e para que servem? Tenho feito esse questionamento para alunos de ensino médio ou superior que já estudaram logaritmos e pouquíssimas vezes obtive uma resposta satisfatória! Aliás, ao tocar no assunto observo expressões negativas e de total desconhecimento. Fico pensando no motivo pelo qual os alunos não retêm os conhecimentos aprendidos sobre logaritmos. Como é o ensino desse conteúdo na maioria das escolas? 

Normalmente os logaritmos são abordados de forma mecânica na sala de aula. O professor fala sobre a definição e suas consequências, propriedades, mudança de base, ..., e passa as listagens de exercícios. As aulas geralmente são enfadonhas e, muitas vezes, descontextualizadas.

Aprender sobre logaritmos e saber aplicá-los na resolução de problemas é algo que todo o estudante deveria saber! É uma aprendizagem para a vida! Então, vale a pena investir no processo de ensino-aprendizagem dos logaritmos!

Um pouco de história

Há muito o que falar sobre logaritmos, a começar pela história que justifica a criação dessa importante "calculadora" da antiguidade. Há quem diga que os logaritmos impactaram no passado tanto quanto os computadores em nossos dias!

Há alguns anos eu estava contando a história dos logaritmos para uma turma de um curso superior de Administração e, num determinado momento,  alguém bateu na porta, interrompendo a aula. No mesmo instante, ouvi um sonoro "ah não!" da turma toda, que ficou descontente com a interrupção! A reação dos alunos me surpreendeu positivamente e me mostrou o quanto eles estavam interessados na aula!

Bem, vou detalhar, então, quais são a ferramentas que utilizo para ensinar logaritmos e estimular o aluno a estudar e permanecer interessado no assunto. Tudo começa com a história:  os logaritmos surgiram no início do século XVII para auxiliar e facilitar a resolução de cálculos complicados. Aliás, essa época foi chamada de revolução científica pois a ciência ganhou novas ferramentas e o conhecimento passou a ser mais estruturado e prático.

Conforme o Novo Telecurso do Ensino Médio, naquela época o homem se lançava aos mares e oceanos em busca de novas terras e determinava suas posições no mar a partir das observações das estrelas; os astrônomos faziam descobertas observando planetas e estrelas para prever fenômenos naturais, tais como marés e eclipses;  os banqueiros calculavam os juros de empréstimos;  as obras de engenharia evoluíam . Todas essas atividades exigiam muitos cálculos!

Então surgiram as tábuas ou tabelas de logaritmos que facilitavam os cálculos pois, com o uso delas, multiplicações podiam ser substituídas por adições, divisões por subtrações e potências por multiplicações. As tábuas de logaritmos foram feitas a muitas mãos, mas o matemático John Napier  as tornou públicas, por isso ele é considerado  o pai dos logaritmos. O termo logaritmo foi criado por Napier: logos significa razão e arithmos números.

Com o aparecimento das calculadoras e computadores as tábuas de logaritmos perderam sua validade. Todavia, hoje o que especialmente importa são as propriedades dos logaritmos e as funções logarítmicas que auxiliam no entendimento e resolução de problemas de diversas áreas.

Definição e propriedades

Após a abordagem histórica, é hora de falar claramente sobre a definição de logaritmos. O logaritmo é um expoente a que se deve elevar uma base para obter um número. Simples assim: logaritmos são ex-po-en-tes!

Então, dados os números reais e positivos a e b, com a diferente de 1, chama-se de logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar à base de modo que a potência obtida seja igual a b. Sendo assim: Isso quer dizer, por exemplo, que 2³=8 ⇔ log ₂ 8=3 e que  5²=25 ⇔ log ₅ 25=2.

Ou seja, enquanto na potência tem-se a base e o expoente e se obtém o número, no logaritmo tem-se a base e o número e obtém-se o expoente. É interessante, em seguida, realizar algumas operações simples utilizando logaritmos para que os estudantes tenham ideia de como os antigos matemáticos faziam os cálculos. Vamos começar tomando os logaritmos decimais dos números de 1 a 10, com o auxílio da calculadora, tal como mostra a tabela abaixo:

E agora, vamos resolver três cálculos simples utilizando a tabela e as propriedades das potências:

Observemos que, a partir da primeira linha de cálculo, podemos apresentar e justificar a propriedade da multiplicação, que diz que o logaritmo de um produto de dois números é igual à somas dos logaritmos desses números. Para os antigos matemáticos o uso da tabela era bem simples: no caso do exemplo acima, bastava observar os logaritmos de 2 e de 4, somar esses números e localizar a soma para encontrar o resultado da operação.

Processo semelhante pode ser feito com a propriedade do quociente, que diz que o logaritmo do quociente de dois números é igual à diferença de seus logaritmos. Vejamos o caso da operação 6 : 2, que segue abaixo:

E, por fim, vamos calcular 3² utilizando a tabela dos logaritmos para, também, apresentar a propriedade da potência, que afirma:  log aⁿ=n log a.

A partir destes exemplos justificamos, de forma bem didática e simples, as propriedades operatórias dos logaritmos! Bem, é sabido que  os logaritmos surgiram no século XVII para facilitar os cálculos, em uma época em que não existiam calculadoras e nem computadores. E hoje, para que são utilizados?

Resolução de equações

Uma aplicação dos logaritmos é na resolução de equações exponenciais ou logarítmicas.

Para resolver uma equação qualquer, uma boa técnica é imaginar uma balança de dois pratos em equilíbrio. A balança fica equilibrada quando há igual massa nos dois pratos e, para encontrar o valor de uma massa desconhecida, é necessário manipular as massas dos pratos de forma que o equilíbrio seja sempre mantido.

Seja, por exemplo, a equação 2^x=7.  Para encontrar o valor de x, aplicamos logaritmos nos dois membros da mesma e utilizamos a terceira

propriedade, a fim de isolar a incógnita:  No cálculo dos juros compostos também é necessário utilizar logaritmos para se descobrir o tempo em que uma aplicação rende determinado juro, a partir da fórmula: em que M é o montante (capital + juros), C é o capital, i é a taxa de juros e n é o tempo. Suponhamos que R$ 1000,00 produza juros compostos de R$ 200,oo, a uma taxa 1,2% ao mês.

O cálculo abaixo mostra como determinar o tempo da aplicação:  

Questões do ENEM

As temidas provas de matemática do ENEM são resolvidas com interpretação e domínio de conhecimentos específicos.

Um outro exemplo de aplicação dos logaritmos é a questão que segue, apresentada na prova de matemática do ENEM de 2013: Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão  M(t)=A.(2,7)^kt  onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log ₁₀ 2. Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? Para a resolução utilizamos, primeiramente, as informações sobre a meia vida do césio-137: Em seguida, tomamos novamente a equação dada para responder a pergunta do problema:

Então, em 100 anos o césio-137 reduz-se a 10% de sua massa inicial. Outra aplicação dos logaritmos é na medição da magnitude de terremotos, através de escalas logarítmicas. A Escala Richter, conforme conta o vídeo da série Matemática Multimídia, foi criada em 1935 por Charles Richter e Beno Gutenberg, enquanto estudavam os terremotos nos Estados Unidos. Eles utilizavam  um sismógrafo para medir a energia liberada no foco dos terremotos e perceberam que as magnitudes dos abalos variavam muito. Por isso, criaram uma escala com os logaritmos dos números mostrados pelo sismógrafo.

Com a Escala Richter, grandes variações de magnitudes sísmicas puderam ser representados em uma escala reduzida, já que cada grau na Escala é um expoente da base 10. Assim, um terremoto de 3 graus na Escala tem magnitude 10³=1000 e um terremoto com 4 graus na escala tem magnitude 10⁴=10000. Isso significa que um terremoto de grau 4 é dez vezes mais forte que um terremoto de grau 3. Porém, terremotos de pequenas magnitudes não são percebidos. O maior terremoto já ocorrido no mundo aconteceu no Chile, em 1960, chegou a 9,5 pontos na Escala Richter e provocou muitos desastres e mortes. No Brasil, o maior terremoto de que se tem registro foi no Mato Grosso, há 50 anos, e atingiu 6,6 graus (Novo Telecurso Ensino Médio).

Uma das questões do ENEM de 2011 salienta que outra escala, menos conhecida da população em geral e introduzida em 1979, substituiu a Escala Richer : é a MMS, ou seja, Escala de Magnitude de Momento que é denotada por M_w. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica.

A questão dessa prova menciona o terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, cuja magnitude M_w=7,3. Sabendo que M_w e M_o (momento sísmico) relacionam-se pela fórmula abaixo, o problema solicita para determinar M_o.

A resolução é a que segue:

A exemplo dos problemas resolvidos acima, há muitos outros, em várias áreas, que somente podem ser solucionados com o uso dos logaritmos. Por isso, vale a pena dedicar-se ao ensino e/ou ao estudo dessa importante ferramenta da matemática!

REFERÊNCIAS

Novo Telecurso Ensino Médio: Aula 60. Disponível em Matemática Multimídia: Logaritmos - Escala Richter.  

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemtática Elementar: Logaritmos. São Paulo: Atual, 1993. ENEM: Exames. Disponível em