Função do 1º grau com o Desmos

Um amigo me apresentou o Desmos para a construção de gráficos e eu achei-o muito interessante!

A princípio, não tive curiosidade em explorar o Desmos, pois já utilizava o Winplot e outros softwares em sala de aula e para a realização de trabalhos. Mas, passado algum tempo, resolvi conhecer o Desmos e me encantei.

Então, desenvolvi algumas estratégias para o ensino de funções que quero compartilhar com você!

O Desmos, chamado de calculadora gráfica, é uma ferramenta online gratuita que, além de outras funcionalidades, plota gráficos de quaisquer funções. Pode ser uma única lei ou várias, com animação ou não, com ou sem tabelas.

Há, também, a possibilidade de criar figuras a partir de diferentes funções. Ao visitar a página do Desmos em www.desmos.com encontramos muitos trabalhos feitos desta forma. Uma verdadeira obra de arte que tem como base funções e seus gráficos.

 

O Desmos faz muito mais do que plotar gráficos, mas vamos nos ater a este assunto neste artigo.

Para iniciar o trabalho com o Desmos, entre na página www.desmos.com e clique em Start Graphing.

A tela inicial do Desmos é igual à imagem que segue abaixo:

 

 

Para começar a criar quaisquer funções, basta digitar a lei da função. Por exemplo, para plotar a função y=2x você pode digitar: y=2x ou 2x ou f(x)=2x.

 

 

As ferramentas à direita da tela permitem definir diversos aspectos do gráfico (limites nos eixos, linhas de grade, etc.) e aumentar ou diminuir o zoom da tela.

Ao clicar e manter apertado o botão esquerdo do mouse sobre o círculo que aparece ao lado da lei da função é possível trocar a cor ou o tipo de linha.

Para plotar mais de uma função no mesmo sistema de eixos basta, simplesmente, dar enter após a inserção da primeira lei e inserir a próxima e, assim, sucessivamente.

 

Para apagar as funções construídas, é preciso apenas selecioná-las com o mouse e clicar em Delete ou simplesmente clicar no X que aparece no espaço destinado às fórmulas.

É ou não é reta?

Nesta atividade, os alunos devem construir o gráfico de algumas funções e de suas tabelas para alguns valores de x. A partir de uma análise minuciosa, podem tirar  conclusões e estabelecer relações a respeito das funções do 1º grau.

Por exemplo, construir no mesmo sistema, os gráficos das funções y=x+3 e y=x2, bem como a tabela de cada uma delas:

 

 

Para a construção da tabela da função, basta clicar no botão “+” (adicionar item – à esquerda da janela), e escolher o item tabela. Em seguida, deve-se inserir os valores desejados de x e nomear adequadamente os pares y. Na figura acima, as funções foram nomeadas f(x) e g(x).

Uma observação das tabelas permite concluir que, para a reta construída, valores igualmente espaçados em x produzem valores igualmente espaçados em y, ou seja, à medida em que x cresce de um em um, y também cresce (no caso, de um em um).

Todavia, na segunda função ocorrem iguais espaçamentos em x porém os espaçamentos em y não são iguais entre si, isto é, à medida em que x cresce de um em um, y  decresce 3, depois decresce 1, em seguida cresce 1, depois cresce 3, … Daí, pode-se observar que a segunda função não é uma reta (é parábola!).

Outro exemplo poderia ser y=-2x e y=x3. Para a reta, enquanto x cresce de um em um e y decresce de 2 em 2. Para a curva, o crescimento em y não é constante.

E assim, outros exemplos possibilitarão que se conclua que uma função é do 1º grau quando espaçamento iguais em x produzem espaçamentos iguais em y.

Toda função do 1º grau pode ser expressa por uma equação do tipo y=ax+b em que “a” é a declividade, inclinação ou a taxa de variação da reta e “b” é o intercepto horizontal, ou seja, a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y.

 

Explorando a função do 1º grau

As atividades que seguem podem ser propostas aos alunos para que eles façam descobertas e estabeleçam relações a respeito das funções do 1º grau e seus gráficos.

1) Represente as funções descritas pelas equações dadas abaixo em um mesmo sistema de eixos, compare-as e anote suas observações:

a) y=x;  g=x+1;  h=x+2;  k=x-1

Observações:

  • As retas são paralelas já que todas possuem a mesma declividade ou inclinação (a=1).
  • As retas são crescentes pois a declividade a de cada uma delas é um número positivo (a>0).
  • A reta y=x corta o eixo y em zero (b=0) sendo que as demais cortam, respectivamente, em 1, 2 e -1.

 

b) y=-x;  g=-x+1;  h=-x+2;  k=-x-1

Observações:

  • As retas são paralelas já que todas possuem a mesma inclinação (a=-1).
  • As retas são decrescentes pois a declividade a de cada uma delas é um número negativo (a<0).
  • A reta y=- x corta o eixo y em zero (b=0) sendo que as demais cortam, respectivamente, em 1, 2 e -1.

 

c) y=x;  g=2x;  h=3x

Observações:

  • Todas as retas passam pelo ponto (0,0) já que b=0 para todas elas.
  • As retas possuem diferentes inclinações. A reta menos inclinada em relação à horizontal é y=x (a=1) e a mais inclinada é h=3x (a=3).
  • As retas são crescentes (a>0).

d) y=x;  g=-x

Observações:

  • A reta y=x é crescente (a>0) e a reta y=-x é decrescente (a<0).
  • Uma reta é a reflexão da outra em relação ao eixo x .
  • Ambas as retas passam pelo ponto (0,0) pois, para ambas, b=0.

2) A partir das observações feitas anteriormente, compare, em um mesmo sistema de eixos, as duplas de retas que seguem  e escreva as conclusões a que você chegou.

a) y=2x+1  e  g=2x-1                      b) y=x+2 e g=-(x+2)                            c) y=x-1 e g=2x-1

 

3) Agora, experimente utilizar “controles deslizantes” para certificar-se de suas conclusões.

Digite os elementos  mostrados na imagem abaixo e arraste, com o mouse, o círculo apresentado em a. Faça o mesmo para o segundo caso, arrastando o círculo apresentado em b.

 

Conclusões:

  • Para qualquer reta y=ax+b, b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y e a é a declividade da reta e determina sua inclinação
  • Quando a é positivo, a reta é crescente e quando a é negativo, a reta é decrescente.
  • Quanto maior a declividade a da reta, maior a inclinação da mesma com relação ao eixo horizontal.

Entendendo melhor a inclinação da reta

Construa os gráficos das funções abaixo e faça, também, suas tabelas:

a) y=x/2+1            b) y=x+1

Tome dois pares quaisquer da primeira função, por exemplo, (-2,0) e (-1; 0,5). Observe que a razão entre a variação em y pela variação em x é constante e igual à inclinação da reta.

a=(0,50)/(-1-(-2))=0,5

O mesmo pode ser observado com os pares (0,1) e (2,2), por exemplo:

a=(21)/(20)=0,5

ou com quaisquer outros dois pares da reta.

Faça o mesmo com alguns pares da segunda reta.

Conclusão: A declividade ou inclinação da reta é encontrada calculando-se a razão entre a variação de y e a variação de x. Por este motivo, “a “também é chamado de taxa de variação.

Ou seja, tendo os pares de (x1, y1 ) e (x2, y2 ) de uma função do 1º grau, a é calculado fazendo-se:

a=(y2 – y1 )/(x2 – x1 )

Obtendo a equação da reta a partir de dois pontos

Vamos supor que você conheça dois pontos pelos quais a reta passa, por exemplo, (1,2) e (2,3). Para encontrar a equação da reta a partir destes pontos siga os passos abaixo:

Primeiro, calcule a inclinação a da reta:

a=(3-2)/(2-1)=1

Pensando na fórmula a=(y2 – y1 )/(x2 – x1)substituindo (x2, y2 ) por (x,y) e manipulando-a algebricamente chegamos a:

y- y1 =a (x-x1)

que é uma forma de obter a equação da reta.

Segundo, utilize um dos pontos pelos quais a reta passa e a fórmula y- y1 =a (x-x1). Sendo assim, tomando o par (1,2),  tem-se:

y-2= 1 (x-1)

y=x+1

que é a equação da reta que passa pelos pontos (1,2) e (2,3).

 

Retas horizontais e verticais

Retas horizontais são aquelas que formam com o eixo y um ângulo de 90° e retas verticais são as que formam com o eixo x um ângulo de 90°.

Uma reta horizontal tem inclinação igual a zero, ou seja, a=0. Por isso, a lei de tais retas é y=b.

Observemos, por exemplo, as retas y=3 e y=-2 mostradas abaixo:

 

Uma reta vertical não pode ser traduzida pela equação y=ax+b já que é impossível calcular sua declividade ou inclinação a visto que a variação em x é sempre igual a zero. Então, por ser vertical e interceptar o eixo x em um ponto k, sua equação será x=k.

Observemos, por exemplo, as retas x=3 e x=-2 mostradas abaixo:

Construindo uma casinha

Projetos de trabalho a partir da construção de uma imagem qualquer utilizando-se retas são ótimos recursos para colocar em prática as descobertas e conhecimentos adquiridos sobre as funções do primeiro grau.

Vou exemplificar como proceder na construção de uma simples casinha. A partir desse exemplo, projetos mais elaborados e desafiantes podem ser concebidos, basta dar asas à criatividade!!!

Para a construção da casinha mostrada abaixo é preciso definir a lei das retas que comporão o desenho e determinar, também, o intervalo de variação de cada uma delas.

Por exemplo, a reta x=2 determina uma das paredes da casa e, para que tenha a altura desejada, x deve variar de 0 até 4. O mesmo ocorre com a reta x=8, que representa a outra parede da casa.

 

 

A reta y=(2/3)x+(8/3) representa parte do telhado da casa. Como descobrir esta lei?

Bem, deve-se pensar em dois pontos pelos quais a reta passa, tais como (2,4) e (5,6) e calcular a inclinação fazendo-se: a=(64)/(52)=2/3. Depois, faz-se: y-4=(2/3)(x-2) que resulta em y=(2/3)x+(8/3).

Assim, de segmento de reta em segmento de reta, a casinha foi sendo construída.

Este simples exemplo é o pontapé inicial para projetos muito mais desafiantes. Você quer tentar?

 

Referências

http://learn.desmos.com/

https://www.desmos.com/

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