Função do 1º grau com o Desmos

Um amigo me apresentou o Desmos para a construção de gráficos e eu achei-o muito interessante!

A princípio, não tive curiosidade em explorar o Desmos, pois já utilizava o Winplot e outros softwares em sala de aula e para a realização de trabalhos. Mas, passado algum tempo, resolvi conhecer o Desmos e me encantei.

Então, desenvolvi algumas estratégias para o ensino de funções que quero compartilhar com você!

O Desmos é chamado de calculadora gráfica, é uma ferramenta online gratuita que, além de outras funcionalidades, plota gráficos de quaisquer funções. Pode ser uma única lei ou várias, com animação ou não, com ou sem tabelas.

Há, também, a possibilidade de criar figuras a partir de diferentes funções. Ao visitar a página do Desmos em www.desmos.com encontramos muitos trabalhos feitos desta forma. Uma verdadeira obra de arte que tem como base funções e seus gráficos.

O Desmos faz muito mais do que plotar gráficos, mas vamos nos ater a este assunto neste artigo.

Para iniciar o trabalho com o Desmos, entre na página www.desmos.com e clique em Start Graphing.

A tela inicial do Desmos é igual à imagem que segue abaixo:

 

 

Para começar a criar quaisquer funções, basta digitar a lei da função. Por exemplo, para plotar a função y=2x você pode digitar: y=2x ou 2x ou f(x)=2x.

 

 

As ferramentas à direita da tela permitem definir diversos aspectos do gráfico (limites nos eixos, linhas de grade, etc.) e aumentar ou diminuir o zoom da tela.

Ao clicar e manter apertada o botão esquerdo do mouse sobre o círculo que aparece ao lado da lei da função é possível trocar a cor ou o tipo de linha.

Para plotar mais de uma função no mesmo sistema de eixos basta, simplesmente, dar enter após a inserção da primeira lei e fazer o mesmo com as demais leis que se quer adicionar.

 

Para apagar as funções construídas, é preciso apenas selecioná-las com o mouse e clicar em Delete ou simplesmente clicar no X que aparece no espaço destinado às fórmulas.

É ou não é reta?

Nesta atividade, os alunos devem construir o gráfico de algumas funções e de suas tabelas para alguns valores de x. A partir dessa análise, podem tirar  conclusões e estabelecer relações.

Por exemplo, construir no mesmo sistema, os gráficos das funções y=x+3 e y=x2, bem como a tabela de cada uma delas:

 

 

Para a construção da tabela da função, basta clicar no botão “+” (adicionar item – à esquerda da janela), e escolher o item tabela. Em seguida, deve-se inserir os valores desejados de x e nomear adequadamente os pares y. Na figura acima, as funções foram nomeadas f(x) e g(x), as abscissas de x1 e x2 e as ordenadas de f(x1) e g(x2), respectivamente.

Uma observação das tabelas permite concluir que, para a reta construída, valores igualmente espaçados de x produzem valores igualmente espaçados em y, ou seja, à medida em que x cresce de um em um, y também cresce (no caso, de um em um).

Todavia, na segunda função ocorrem iguais espaçamentos em x porém os espaçamentos em y não são iguais entre si, isto é, à medida em que x cresce de um em um, y decresce 3, depois decresce 1, em seguida cresce 1, depois cresce 3, …

Outro exemplo poderia ser y=-2x e y=x3. Para a reta, x cresce de um em um e y decresce de 2 em 2. Para a curva, o crescimento em y não é constante.

E assim, outros exemplos possibilitarão que se conclua que uma função é reta quando espaçamento iguais em x produzem espaçamentos iguais em y.

A forma equação da reta pode ser definida por y=ax+b em que “a” é a declividade, inclinação ou a taxa de variação da reta e “b” é o intercepto horizontal, ou seja, a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y.

 

Explorando a função do 1º grau

As atividades que seguem podem ser propostas aos alunos para que eles façam descobertas e estabeleçam relações a respeito das funções de primeiro grau e seus gráficos.

1) Represente cada dupla de retas descritas pelas equações dadas abaixo em um mesmo sistema de eixos, compare-as e anote suas observações:

a) y=x; g=x+1; h=x+2; k=x-1

Observações:

  • As retas são paralelas já que todas possuem a mesma inclinação.
  • As retas são crescentes e a reta y=x corta o eixo y em zero sendo que as demais cortam, respectivamente, em 1, 2 e -1.
  • A declividade a das retas é um número positivo.

 

b) y=-x; g=-x+1; h=-x+2; k=-x-1

Observações:

  • As retas são paralelas já que todas possuem a mesma inclinação.
  • As retas são decrescentes e  a reta y=x corta o eixo y em zero sendo que as demais cortam, respectivamente, em 1, 2 e -1.
  • A declividade a das retas é um número negativo.

 

c) y=x; g=2x; h=3x

Observações:

  • Todas as retas passam pelo ponto (0,0), mas possuem diferentes inclinações. A reta menos inclinada em relação à horizontal é y=x e a mais inclinada é h=3x.
  • As retas são crescentes

d) y=x; g=-x

Observações:

  • Uma das retas é crescente (a>0) e a outra decrescente (a<0).
  • Uma reta é a reflexão da outra em relação ao eixo x .
  • Ambas as retas passam pelo ponto (0,0).

 

2) A partir das observações feitas anteriormente, compare, em um mesmo sistema de eixos, as duplas de retas que seguem  e escreva as conclusões a que você chegou.

a) y=2x+1  e  g=2x-1

b) y=x+2 e g=-(x+2)

c) y=x-1 e g=2x-1

 

3) Agora, experimente utilizar “controles deslizantes” para certificar-se de suas conclusões.

Digite os elementos  mostrados na imagem abaixo e arraste, com o mouse, o círculo apresentado em a. Faça o mesmo para o segundo caso, arrastando o círculo apresentado em b.

 

Conclusões:

  • Para qualquer reta y=ax+b, b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y e a é a declividade da reta e determina sua inclinação
  • Quando a é positivo, a reta é crescente e quando a é negativo, a reta é decrescente.
  • Quanto maior a declividade “m” da reta, maior a inclinação da mesma com relação ao eixo horizontal.

Entendendo melhor a inclinação da reta

Construa os gráficos das funções abaixo e, também de suas tabelas:

a) y=x/2+1            b) y=x+1              c) y=2x+1             d) y=3x+1

Compare as razões: f(x2)-f(x1)) /(x2 – x1 )  em cada reta. Compare também (f(x3)-f(x2)) /  (x3  – x2 ) e assim sucessivamente. O que você observa?

Conclusão: A declividade ou inclinação da reta é encontrada fazendo-se f(x2)-f(x1)) /(x2 – x1 ). Por este motivo, “a “também é chamado de taxa de variação.

 

Construindo uma casinha

Projetos de trabalho a partir da construção de uma imagem qualquer são ótimos recursos para colocar em prática as descobertas e conhecimentos adquiridos sobre as funções do primeiro grau.

Vou exemplificar como proceder na construção de uma simples casinha. A partir desse exemplo, projetos mais elaborados e desafiantes podem ser criados, basta dar asas à criatividade!!!

 

Referências

http://learn.desmos.com/

https://www.desmos.com/

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